几何学概述

一．概念描述

现代数学：几何学，简称几何，是数学中研究空间形式及其相互关系的分支学科。几何学按照它的内容可分为欧几里得几何和非欧几里得几何，将以上二者统一在一起的是近代射影几何。欧几里得几何通常简称为欧氏几何，非欧几里得几何因此简称为非欧几何。欧氏几何符合一般人对现实空间的认知，非欧几何则一时难以被一般人接受，多数人对射影几何了解得甚少。中小学阶段学习的几何属于欧氏几何。

几何学按照历史发展顺序，可分为初等几何、解析几何、近代几何。

小学数学：现行小学数学教材中都没有出现“几何学”的定义，但是2008年北师大版教材在四年级“总复习”时开始用到“图形与几何”一词。

二．概念解读

数学除了研究“数量关系”之外，还研究“空间形式”。“形”的历史与“数”的历史一样古老，可以追溯到公元前2000年左右，甚至更远。因此“几何学”是数学的一个重要分支，它主要研究空间图形的有关问题。

在我国古代，这个数学分支并不叫“几何”，而是叫作“形学”。它来源于古希腊文，原意是“土地”。中文的“几何”一词，是明代利玛窦和徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。撷取geo这一音节，把它音译为“几何”。”几何”二字，在古汉语里原先并不是一个数学专用名词，而是个虚词，意思是“多少”。

几何起源于人类的实践活动。恩格斯曾经指出：“数学是从计算时间和制造器皿产生的。”如果说计算时间需要“数”的概念，那么制造器皿则有赖于“形”的意识。在生产生活中，人们感受到太阳、月亮的圆非常稳定，逐渐地把这些“形”留在了他们的记忆之中，并运用在劳动中。

人们对“形”的认识意识，在远古时期有很多例征。如古埃及在齐阿普斯王朝时代建造起来的金字塔便是非常典型的一个。古巴比伦的一块泥板上载有一幅表示15块土地的平面图，其中7块为直角三角形、4块为长方形，另外4块为直角梯形。在我国甘肃省景泰县张家台出土的彩陶罐上发现了大量的几何图形，如平行线、三角形、正方形、圆弧和圆。在我国龙山文化（新石器时代）遗址的考古过程中，发现一些陶片上绘有方格、米字、椒眼、回字和席文等几何图案。

在人类活动的初期，几何“结构”的意识在人们进行比较简单的模仿和比照中逐步建立起来。例如，太阳从地平线上升起，人们把太阳看成圆，太阳升起的高度看成直线，这样就构成了网与直线的位置关系。而随着生产生活的需要，人们对几何“结构”的意识越来越强。总之，几何起源于人类“形”的意识，而这些意识来自人类对自然界的感受和体验，来自人类适应自然、改造自然的实践活动。

几何的发展经历了漫长而曲折的沧桑岁月，它的诞生和发展都凝聚着劳动人民的智慧，闪耀着古今数学家刻苦钻研、献身科学的精神光芒。

例如，古埃及的劳动人民为克服尼罗河连年泛滥造成的土地丈量困难而发明了“测量术”。尼罗河是古埃及人生存的命脉，但是它每年都泛滥一次，因此人们就要重新丈量土地和计算土地的面积。既然要丈量土地，就一定要掌握土地面积的计算方法。人们在实践中发现：一块地面如果有两砖长、三砖宽，需要铺六块砖(2x3)；另一块地面有四砖长、五砖宽，就需要铺二十块砖(4x5)。这样，人们逐渐探索出了计算正方形和长方形土地面积的方法。

有些土地形状很不规则，于是人们把它们分成若干个三角形。但三角形的面积怎样求呢？人们受到一块正方形的麻布的启发---把正方形麻布折叠成两个大小相等的三角形，每个三角形的面积恰好是正方形面积的一半。古埃及人正是从这类简单的生活现象中，获得了求三角形面积的方法：长乘宽再除以二。在生产、生活中，人们通过长方形、正方形面积的计算，又很快获得计算平行四边形和梯形土地面积的方法。

古希腊数学家欧几里得，把当时所有的几何知识系统地进行整理，写出了流芳百世的巨著---《几何原本》。

我国古代数学家在几何研究方面也取得了突出成就。如《九章算术》中记载了“勾三股四弦五”，这就是有名的“勾股定理”。勾股定理在国外叫毕达哥拉斯定理。《墨经》中把“圆”解释成“一中同长”，与欧氏几何的提法也基本一致。

三．教学建议

①“图形与几何”部分是义务教育阶段数学课程的重要内容，贯穿于1-9年级。它的课程内容，以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开，主要有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；物体和图形的位置及运动的描述，以及利用坐标对其的刻画。

由于此部分内容多、跨度大，把握好核心概念就显得尤为重要。如对“空间观念”和“几何直观”的培养是这部分内容所承载的重要任务。（具体要求可以参考《（义务教育数学课程标准（2011年版））解读》）

②注意运用多种方法探索图形的性质。探索图形的性质有很多种方法。在小学阶段可以通过操作、观察、实验等活动，对现象进行归纳或类比，从而发现图形的性质。例如，在推导图形相关的计算公式时，可以设计一些探索活动，让学生感受合情推理的过程，并在认可计算公式的同时，发展学生的创新意识和创新精神。小学阶段，虽然几何方面的学习内容不多，但却是中学学习几何的基础，所以有必要在六年级总复习时，对各种图形进行分类，进而形成知识网络。此外，还可以让学生在了解历史及进行实践活动的过程中进一步认识图形。

四．推荐阅读

(1)《数学的源与流》（张顺燕，高等教育出版社，2003）

该书的很多章节对几何学中的知识进行了介绍，其中第六章对欧式几何进行了回顾，值得教师了解并在教学中借鉴。

(2)《小学数学研究》（张奠宙等，高等教育出版社，2009）

该书的第七至九章对小学几何进行了比较全面的论述，并对一些常见的教学问题展开了研究。